Fórmulas para la resolución de circuitos en CC y CA

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Fórmulas para la resolución de circuitos en CC y CA
Redacción SicaNews [ newsletter@sicaelec.com ]

Fórmulas para la resolución de circuitos en CC y CA

Resumen:

En este artículo se publican y explican un variado compendio de fórmulas de cálculo, para la resolución de distintos circuitos de corriente continua y corriente alterna.

Desarrollo:

En algunas de las fórmulas siguientes se emplea la fuente “symbol” para su notación. Si los símbolos de las letras 'alfa beta delta' no aparecen así: [a b d], entonces deberá instalarse la fuente citada para una lectura adecuada.

1 - Fórmulas básicas de los circuitos eléctricos

- Notación

- Resistencia

La resistencia R de un circuito es igual a la tensión continua aplicada E dividida por la corriente continua resultante I:

R = E / I

- Resistencias en serie

Cuando las resistencias R₁, R₂, R₃, ... se conectan en serie, la resistencia total R_S vale:

R_S = R₁ + R₂ + R₃ + ...

- División de tensión por resistencias en serie

Cuando la tensión total E_S se aplica al conjunto de dos resistencias conectadas en serie R₁ y R₂, la corriente I_S que circula a través del circuito serie vale:

I_S = E_S / R_S = E_S / (R₁ + R₂)

Las caidas de tensión V₁ y V₂ que aparecen a través de las resistencias respectivas R₁ y R₂ valen:

V₁ = I_SR₁ = E_SR₁ / R_S = E_SR₁ / (R₁ + R₂)
V₂ = I_SR₂ = E_SR₂ / R_S = E_SR₂ / (R₁ + R₂)

En general, para las resistencias R₁, R₂, R₃, ... conectadas en serie:

I_S = E_S / R_S = E_S / (R₁ + R₂ + R₃ + ...)

V_n = I_SR_n = E_SR_n / R_S = E_SR_n / (R₁ + R₂ + R₃ + ...)

Nótese que la mayor caída de tensión aparece a través de la resistencia mayor.

- Resistencias en paralelo

Cuando las resistencias R₁, R₂, R₃, ... se conectan en paralelo, la resistencia total R_P vale:

1 / R_P = 1 / R₁ + 1 / R₂ + 1 / R₃ + ...

Alternativamente, cuando las conductancias G₁, G₂, G₃, ... se conectan en paralelo, la conductancia total G_P vale:

G_P = G₁ + G₂ + G₃ + ...

donde: G_n = 1 / R_n

Para dos resistencias R₁ y R₂ conectadas en paralelo, la resistencia total R_P vale:

R_P = R₁R₂ / (R₁ + R₂)

La resistencia R₂ que debe conectarse con la resistencia R₁ para dar una resistencia total R_P vale:

R₂ = R₁R_P / (R₁ - R_P)

- División de corriente por resistencias en paralelo

Cuando la corriente total I_P se aplica al conjunto de dos resistencias conectadas en paralelo R₁ y R₂, la caída de tensión V_P que aparece a través del circuito paralelo vale:

V_P = I_PR_P = I_PR₁R₂ / (R₁ + R₂)

Las corrientes I₁ e I₂ que circulan a través de las resistencias respectivas R₁ y R₂ valen:

I₁ = V_P / R₁ = I_PR_P / R₁ = I_PR₂ / (R₁ + R₂)
I₂ = V_P / R₂ = I_PR_P / R₂ = I_PR₁ / (R₁ + R₂)

En general, para las resistencias R₁, R₂, R₃, ... (con conductancias G₁, G₂, G₃, ...) conectadas en paralelo:

V_P = I_PR_P = I_P / G_P = I_P / (G₁ + G₂ + G₃ + ...)
I_n = V_P / R_n = V_PG_n = I_PG_n / G_P = I_PG_n / (G₁ + G₂ + G₃ + ...)

donde: G_n = 1 / R_n

Nótese que la mayor corriente aparece a través de la conductancia mayor (con la resistencia menor).

- Capacidad

Cuando una tensión V se aplica a un circuito que contiene una capacidad C, la circulación de corriente acumula una carga Q en el capacitor:

Q = ò i dt  = CV

Alternativamente, diferenciando con respecto al tiempo:

dq/dt = i = C dv/dt

La capacidad C de un circuito es igual a la carga dividida por la tensión:

C= Q / V = ò i dt  / V

Alternativamente, la capacidad C de un circuito es igual a la corriente de carga dividida por la velocidad de variación de la tensión:

C= i / dv/dt = dq/dt / dv/dt = dq/dv

- Capacidades en serie

Cuando las capacidades C₁, C₂, C₃, ... se conectan en serie, la capacidad total C_S vale:

1 / C_S = 1 / C₁ + 1 / C₂ + 1 / C₃ + ...

Para dos capacidades C₁, y C₂ que se conectan en serie, la capacidad total C_S vale:

C_S = C₁C₂ / (C₁ + C₂)

- División de tensión por capacidades en serie

Cuando la tensión total E_S se aplica al conjunto de dos capacidades conectadas en serie C₁ y C₂, la carga Q_S que se acumula en el circuito serie vale:

Q_S = ò i_S dt = E_SC_S = E_SC₁C₂ / (C₁ + C₂)

Las caidas de tensión V₁ y V₂ que aparecen a través de las capacidades respectivas C₁ y C₂ valen:

V₁ = ò i_S dt  / C₁ = E_SC_S / C₁ = E_SC₂ / (C₁ + C₂)

V₂ = ò i_S dt  / C₂ = E_SC_S / C₂ = E_SC₁ / (C₁ + C₂)

En general, para las capacidades C₁, C₂, C₃, ... conectadas en serie:

Q_S = ò i_S dt = E_SC_S = E_S / (1 / C_S) = E_S / (1 / C₁ + 1 / C₂ + 1 / C₃ + ...)
V_n = ò i_S dt / C_n = E_SC_S / C_n = E_S / C_n(1 / C_S) = E_S / C_n(1 / C₁ + 1 / C₂ + 1 / C₃ + ...)

Nótese que la mayor caída de tensión aparece a través de la capacidad menor.

- Capacidades en paralelo

Cuando las capacidades C₁, C₂, C₃, ... se conectan en paralelo, la capacidad total C_P vale:

C_P = C₁ + C₂ + C₃ + ...

- División de carga por capacidades en paralelo

Cuando la tensión E_P se aplica al conjunto de dos capacidades conectadas en paralelo C₁ y C₂, la carga Q_P que se acumula en el circuito paralelo vale:

Q_P = ò i_Pdt = E_PC_P = E_P(C₁ + C₂)

La cargas Q₁ y Q₂  que se acumulan en las capacidades respectivas C₁ y C₂ valen:

Q₁ = ò i₁dt = E_PC₁ = Q_PC₁ / C_P = Q_PC₁ / (C₁ + C₂)
Q₂ = ò i₂dt = E_PC₂ = Q_PC₂ / C_P = Q_PC₂ / (C₁ + C₂)

En general, para las capacidades C₁, C₂, C₃, ... conectadas en paralelo:

Q_P = ò i_Pdt = E_PC_P = E_P(C₁ + C₂ + C₃ + ...)
Q_n = ò i_ndt = E_PC_n = Q_PC_n / C_P = Q_PC_n / (C₁ + C₂ + C₃ + ...)

Nótese que la mayor carga se acumula en la capacidad mayor.

- Inductancia (ó autoinductancia)

Cuando la corriente cambia en un circuito que contiene una inductancia, el flujo concatenado cambia e induce una tensión e en la inductancia:

dy/dt = e = L di/dt

Alternativamente, integrando con respecto al tiempo:

Y = ò edt = LI

La inductancia L de un circuito es igual a la tensión inducida de carga dividida por la velocidad de variación de la corriente:

L = e / di/dt = dy/dt / di/dt = dy/di

Alternativamente, la inductancia L de un circuito es igual al flujo concatenado dividido por la corriente:

L = Y / I

El flujo concatenado Y es igual al producto del número de vueltas N por el flujo magnético F:

Y = NF = LI

- Inductancia mutua

La inductancia mutua M de dos circuitos acoplados con autoinductancias L₁ y L₂ es igual a la tensión mutuamente inducida en una autoinductancia dividida por la velocidad de variación de la corriente en la otra autoinductancia:

M = E_2m / (di₁/dt)
M = E_1m / (di₂/dt)

Si las tensiones inducidas en las autoinductancias L₁ y L₂ son respectivamente E_1a y E_2a para las mismas velocidades de variación de la corriente que producen las tensiones mutuamente inducidas E_1m y E_2m, entonces:

M = (E_2m / E_1a)L₁
M = (E_1m / E_2a)L₂

Entonces:

M = (E_1mE_2m / E_1aE_2a)^½ (L₁L₂)^½ = k_M(L₁L₂)^½

Donde k_M es el coeficiente de acoplamiento mutuo entre las autoinductancias L₁ y L₂.

Si el acoplamiento mutuo entre las dos autoinductancias L₁ y L₂ es perfecto, entonces la inductancia mutua vale:

M = (L₁L₂)^½

- Inductancias en serie

Cuando las inductancias no acopladas L₁, L₂, L₃, ... se conectan en serie, la inductancia total L_S vale:

L_S = L₁ + L₂ + L₃ + ...

Cuando dos circuitos acoplados con inductancias L₁ y L₂ e inductancia mutua M se conectan en serie, la inductancia total L_S vale:

L_S = L₁ + L₂ ± 2M

El signo mas/menos es función del acoplamiento aditivo o sustractivo, lo que depende de polaridad de conexión.

- Inductancias en paralelo

Cuando las inductancias no acopladas L₁, L₂, L₃, ... se conectan en paralelo, la inductancia total L_P vale:

1 / L_P = 1 / L₁ + 1 / L₂ + 1 / L₃ + ...

- Potencia

La potencia P disipada en una resistencia R (ó conductancia G) atravesada por una corriente I que produce una caída de tensión V vale:

P = VI = V² / R = I²R

P = VI = V²G = I² / G

- Energía

La energía W consumida en un tiempo t, para entregar una potencia constante P disipada en una resistencia R (ó conductancia G) atravesada por una corriente I con una caída de tensión V vale:

W = Pt = VIt = V²t / R = I²tR

W = Pt = VIt = V²tG = I²t / G

La energía W almacenada en el campo de una capacidad C para alcanzar una tensión V con una carga Q vale:

W = CV² / 2 = QV / 2 = Q² / 2C

La energía W almacenada en el campo de una inductancia L para llevar una corriente de carga I con un flujo concatenado Y vale:

W = LI² / 2 = YI / 2 = Y² / 2L

- Circuito RC

La constante de tiempo T de un circuito formado por una capacidad C y una resistencia R vale:

T = CR

Si una tensión E se aplica a un circuito serie formado por una capacidad descargada C y una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia v_R, la caída de tensión a través de la capacidad v_C, y la carga acumulada en la capacidad q_C valen:

i = (E / R) e ^{- t / CR}  = (E / R) e ^{- t / T}
v_R = iR = E e ^{- t / CR}  = E e ^{- t / T}
v_C = E - v_R = E (1 - e ^{- t / CR}) = E (1 - e ^{- t / T})
q_C = Cv_C = CE (1 - e ^{- t / CR}) = CE (1 - e ^{- t / T})

Si una capacidad C cargada una tensión V se descarga a través de una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia v_R, la tensión en la capacidad v_C, y la carga acumulada en la capacidad q_C valen:

i = (V / R) e ^{- t / CR} = (V / R) e ^{- t / T}
v_R = iR = V e ^{- t / CR} = V e ^{- t / T}
v_C = v_R = V e ^{- t / CR} = V e ^{- t / T}
q_C = Cv_C = CV e ^{- t / CR}  = CV e ^{- t / T}

- Circuito RL

La constante de tiempo T de un circuito formado por una inductancia L y una resistencia R vale:

T = L/R

Si una tensión E se aplica a un circuito serie formado por una inductancia L y una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia v_R, la caída de tensión a través de la inductancia v_L, y el flujo concatenado en la inductancia y _L valen:

i = (E / R) (1 - e ^{- tR / L}) = (E / R) (1 - e ^{- t / T})
v_R = iR = E (1 - e ^{- tR / L}) = E (1 - e ^{- t / T})
v_L = E - v_R = E e ^{- tR / L} = E e ^{- t / T}
y_L = Li = (LE / R) (1 - e ^{- tR / L}) = (LE / R) (1 - e ^{-t / T})

Si una inductancia L que conduce una corriente I se descarga a través de una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia v_R, la caída de tensión a través de la inductancia v_L, y el flujo concatenado en la inductancia y _L valen:

i = I e ^{- tR / L} = I e ^{- t / T}
v_R = iR = IR e ^{- tR / L} = IR e ^{- t / T}
v_L = v_R = IR e ^{- tR / L} = IR e ^{- t / T}                    
y_L = Li = LI e ^{- tR / L} = LI e ^{- t / T}

2 - Fórmulas para sistemas eléctricos de corriente alterna

- Notación

- Impedancia

La impedancia Z de una resistencia R en serie con una reactancia X vale:

Z = R + jX

Las formas rectángular y polar de la impedancia Z son:

Z = R + jX = (R² + X²)^½  Ðtan^-1(X / R) = |Z| Ðf = |Z|cosf + j|Z|senf

Suma de dos impedancias Z₁ y Z₂:

Z₁ + Z₂ = (R₁ + jX₁) + (R₂ + jX₂) = (R₁ + R₂) + j(X₁ + X₂)

Resta de dos impedancias Z₁ y Z₂:

Z₁ - Z₂ = (R₁ + jX₁) - (R₂ + jX₂) = (R₁ - R₂) + j(X₁ - X₂)

Multiplicación de dos impedancias Z₁ y Z₂:

Z₁ * Z₂ = |Z₁| Ðf₁ * |Z₂| Ðf₂ = ( |Z₁| * |Z₂| ) Ð(f₁ + f₂)

División de dos impedancias Z₁ y Z₂:

Z₁ / Z₂ = |Z₁| Ðf₁ / |Z₂| Ðf₂ = ( |Z₁| / |Z₂| ) Ð(f₁ - f₂)

- Admitancia

Una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X puede convertirse en una admitancia Y constituida por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B:

Z = R + jX

Y = Z ^-1 = 1 / (R + jX) = (R - jX) / (R² + X²) = R / (R² + X²) - jX / (R² + X²) = R / |Z|² - jX / |Z|²
Y = G - jB

G = R / (R² + X²) = R / |Z|²
B = X / (R² + X²) = X / |Z|²

La forma polar de la admitancia Y es:

Y = 1 / |Z|Ðf = |Z| ^-1Ð-f = |Y|Ð-f = |Y|cosf - j|Y|senf

Reciprocamente, para convertir una admitancia Y constituida por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B en una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X:

Z = Y ^-1 = 1 / (G - jB) = (G + jB) / (G² + B²) = G / (G² + B²) + jB / (G² + B²) = R + jX
R = G / (G² + B²) = G / |Y|²
X = B / (G² + B²) = B / |Y|²

Usando la forma polar de la admitancia Y:

Z = 1 / |Y|Ð-f = |Y| ^-1Ðf = |Z|Ðf = |Z|cosf + j|Z|senf

Cuando las impedancias Z₁, Z₂, Z₃, ... se conectan en serie, la impedancia total Z_S vale:

Z_S = Z₁ + Z₂ + Z₃ + ...

Cuando las admitancias Y₁, Y₂, Y₃, ... se conectan en paralelo, la admitancia total Y_P vale:

Y_P = Y₁ + Y₂ + Y₃ + ...

- Reactancia inductiva

La reactancia inductiva X_L de una inductancia L a una frecuencia f  y una velocidad angular w vale:

X_L = wL = 2pfL

Si una corriente sinusoidal i de amplitud I y velocidad angular w pasa por una inductancia L, la tensión e a través de la inductancia vale :

e = L di/dt = L d(I sen wt)/dt = wLI cos wt = X_LI cos wt

La corriente que atraviesa una inductancia está retrasada  90° con respecto a la tensión.

- Reactancia capacitiva

La reactancia inductiva X_C de una capacidad C a una frecuencia f  y una velocidad angular w vale:

X_C = 1 / wC = 1 / 2pfC

Si una tensión sinusoidal v de amplitud V y velocidad angular w se aplica a una capacidad C, la corriente i a través de la capacidad vale :

i = C d(V sen wt)/dt = wCV cos wt = V cos wt / X_C

La corriente que atraviesa una capacidad está adelantada  90° con respecto a la tensión.

- Resonancia serie

Un circuito serie que comprende una resistencia R, una inductancia L y una capacidad C tiene una impedancia Z_S que vale:

Z_S = R + j(X_L - X_C) = R + j(wL - 1 / wC)

En resonancia, la parte imaginaria de la impedancia Z_S vale cero:

X_Cr = X_Lr
Z_Sr = R
w_r = (1 / LC)^½ = 2pf_r

- Resonancia paralelo

Un circuito paralelo que comprende una inductancia L en serie con una resistencia R, en paralelo con una capacidad C, tiene una admitancia Y_P que vale:

Y_P = 1 / (R + jX_L) + 1 / (- jX_C) = (R / (R² + X_L²)) - j(X_L / (R² + X_L²) - 1 / X_C)

Donde X_L = wL y X_C = 1 / wC

En resonancia, la parte imaginaria de la impedancia Y_P vale cero:

X_Cr = (R² + X_Lr²) / X_Lr = X_Lr + R² / X_Lr = X_Lr (1 + R² / X_Lr²)
Z_Pr = Y_Pr^-1 = (R² + X_Lr²) / R = X_Lr X_Cr / R = L / CR
w_r = (1 / LC - R² / L²)^½ = 2pf_r

- Potencia en una impedancia serie

Si una tensión V (tomada como referencia) se aplica a una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X, la corriente I vale:

I = VY = V(R / |Z|² - jX / |Z|²) = VR / |Z|² - jVX / |Z|² = I_P - jI_Q

La corriente activa I_P y la corriente reactiva I_Q valen:

I_P = VR / |Z|² = |I|cosf
I_Q = VX / |Z|² = |I|senf

El valor de la potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q es:

S = V|I| = V² / |Z| = |I|²|Z|

P = VI_P = I_P²|Z|² / R = V²R / |Z|² = |I|²R = V|I|cosf

Q = VI_Q = I_Q²|Z|² / X = V²X / |Z|² = |I|²X = V|I|senf

El factor de potencia cosf resulta:

cosf = I_P / |I| = P / S = R / |Z|

- Potencia en una impedancia paralelo

Si una tensión V (tomada como referencia) se aplica a una impedancia Z formada por una resistencia R en paralelo con una reactancia X, la corriente I vale:

I = VY = V/(R - j / X) = V(G - jB) = VG - jVB = I_P - jI_Q

La corriente activa I_P y la corriente reactiva I_Q valen:

I_P = VG = V / R = |I|cosf
I_Q = VB = V / X = |I|senf

El valor de la potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q es:

S = V|I| = |I|² / |Y| = V²|Y|

P = VI_P = I_P² / G = |I|²G / |Y|² = V²G = V|I|cosf

Q = VI_Q = I_Q² / B = |I|²B / |Y|² = V²B = V|I|senf

El factor de potencia cosf resulta:

cosf = I_P / |I| = P / S = G / |Y|

- Potencia compleja

Si una tensión V se aplica a una impedancia Z provocando la circulación de una corriente I , la potencia compleja S vale:

S = VI*                       (donde I* es el complejo conjugado de la corriente I)

Para carga inductiva:

Z = R + jX_L
I = I_P - jI_Q
cosf = R / |Z|
I* = I_P + jI_Q
S = P + jQ

Para carga capacitiva:

Z = R - jX_C
I = I_P + jI_Q
cosf = R / |Z|
I* = I_P - jI_Q
S = P - jQ

- Potencia trifásica

Para una carga equilibrada en estrella con una tensión de línea V_lin y una corriente de línea I_lin se tiene:

V_estr = V_lin / Ö3
I_estr = I_lin
Z_estr = V_estr / I_estr = V_lin / Ö3 I_lin
S_estr = 3 V_estr I_estr = Ö3 V_lin I_lin = V_lin² / Z_estr = 3 I_lin² Z_estr

Para una carga equilibrada en triángulo con una tensión de línea V_lin y una corriente de línea I_lin se tiene:

V_triang = V_lin
I_triang = I_lin / Ö3
Z_triang = V_triang / I_triang = Ö3 V_lin / I_lin
S_triang = 3 V_triang I_triang = Ö3 V_lin I_lin = 3 V_lin² / Z_triang = I_lin² Z_triang

La potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q valen:

S² = P² + Q²

P = S cosf = Ö3 V_lin I_lin cosf

Q = S senf = Ö3 V_lin I_lin senf

Nótese que para una equivalencia entre cargas equilibradas conectadas en estrella y en triángulo debe ser:

Z_triang = 3 Z_estr

- Sistema por unidad

Para cada parámetro del sistema, el valor por unidad es igual al cociente entre su valor verdadero y el valor base:

E_pu = E / E_base
I_pu = I / I_base
Z_pu = Z / Z_base

En los sistemas trifásicos simétricos se refiere todo a una fase equivalente estrella.

Generalmente se seleccionan los valores nominales de potencia en MVA y tensión de fase estrella en kV como valores base:

S_base = S_nomin = Ö3 E_lin I_lin
E_base = E_estr = E_lin/ Ö3               

Los valores base para corriente de línea en kA y la impedancia por fase estrella en Ohm/fase son:

I_base = S_base / 3E_base ( = S_base / Ö3E_lin)
Z_base = E_base / I_base = 3E_base² / S_base ( = E_lin² / S_base)

Nótese que eligiendo dos valores de base cualesquiera de S_base, E_base, I_base o Z_base se fijan los valores de base de los cuatro.

Los valores por unidad y porcentuales están relacionados por:

Z_pu = Z_% / 100

- Sistema por unidad en transformadores

En presencia de transformadores se trabaja con distintos valores base de tensiones, corrientes e impedancias en ambos lados del mismo. Aceptando que la potencia aparente nominal secundaria (subíndice ₂) es igual a la del primario (subíndice ₁) resulta:

S₁ =Ö3E_1lin I_1lin = S₂ = Ö3 E_2lin I_2lin= S

Convirtiendo a valores base por fase estrella:

3E_1baseI_1base = S_base = 3E_2baseI_2base
E_1base / E_2base = I_2base / I_1base
Z_1base / Z_2base = (E_1base / E_2base)²

La impedancia Z₂₁ referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z₂ en el lado secundario, es:

Z₂₁ = Z₂(E_1base / E_2base)² = Z₂(Z_1base / Z_2base)

Por lo tanto:

Z₂₁/ Z_1base = Z₂/ Z_2base

Z_21pu = Z_2pu

La impedancia Z₁₂ referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z₁ en el lado primario, es:

Z₁₂ = Z₁(E_2base / E_1base)² = Z₁(Z_2base / Z_1base)

Por lo tanto:

Z₁₂/ Z_2base = Z₁/ Z_1base

Z_12pu = Z_1pu

Por su parte, si por ejemplo trabajamos del lado primario, la tensión de cortocircuito por unidad V_1CCpu se relaciona con la impedancia de cortocircuito por unidad Z_1CCpu mediante:

V_1CCpu= V_1CC / E_1base = I_1base Z_1CC / E_1base = Z_1CCpu

- Componentes simétricas

En cualquier sistema trifásico, las corrientes de línea  I_a, I_b e I_c pueden expresarse como la suma fasorial de:

- una terna equilibrada de corrientes de fase de secuencia positiva I_a1, I_b1 e I_c1 (secuencia de fases a-b-c)
- una terna equilibrada de corrientes de fase de secuencia negativa I_a2, I_b2 e I_c2 (secuencia de fases a-c-b)
- una terna de corrientes de fase idénticas de secuencia cero I_a0, I_b0 e I_c0 (en fase, sin secuencia de fases)

Empleando el operador a (1Ð120°), que una de las raices cúbicas de la unidad:

a = - 1 / 2 + jÖ3 / 2 = 1Ð120° = 1Ð-240°
a² = - 1 / 2 - jÖ3 / 2 = 1Ð240° = 1Ð-120°

1 + a + a² = 0
a + a² = - 1 = 1Ð180°
a - a² = jÖ3 = Ö3Ð90°
a² - a = - jÖ3 = Ö3Ð-90°

Las corrientes de secuencia positiva, negativa y cero pueden obtenerse a partir de las corrientes de línea mediante:

I_a1 = (I_a + aI_b + a²I_c) / 3
I_a2 = (I_a + a²I_b + aI_c) / 3
I_a0 = (I_a + I_b + I_c) / 3

Y recíprocamente:

I_a = I_a1 + I_a2 + I_a0
I_b = I_b1 + I_b2 + I_b0 = a²I_a1 + aI_a2 + I_a0
I_c = I_c1 + I_c2 + I_c0 = aI_a1 + a²I_a2 + I_a0

- Cálculo de fallas

Los diferentes tipos de fallas (cortocircuitos) que pueden ocurrir en sistemas de potencia son:

- una fase a tierra

- dos fases

- dos fases a tierra

- tres fases

- tres fases a tierra

Para cada tipo de falla que se presenta en un sistema sin carga, en los siguientes cuadros se dispone:

- en la primera columna se ponen las tensiones de fase y las corrientes de línea que caracterizan a la falla

- en la segunda columna se ponen las corrientes y las tensiones de secuencia de la fase “a” en las condiciones de falla.

- en la tercera columna se ponen las fórmulas para la fase “a” de las corrientes de secuencia en las condiciones de falla.

- en la cuarta columna se ponen las fórmulas de la corriente de falla y las corriente de línea resultantes.

Por convención, las fases siniestradas se elijen con simetría de falla respecto a la fase “a” de referencia.

I _f = corriente de falla
I_e = corriente de falla a tierra
E_a = tensión normal de fase en el lugar de falla
Z₁ = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia positiva
Z₂ = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia negativa

Z₀ = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia cero

Una fase a tierra - falla de la fase “a” a tierra:

Dos fases - falla de la fase “b” a la fase “c”

Dos fases a tierra - falla de la fase “b” y la fase “c” a tierra:

  Z_redt = Z₁ + Z₂Z₀ / (Z₂ + Z₀)   y   S_zz = Z₁Z₂ + Z₂Z₀ + Z₀Z₁ = (Z₂ + Z₀)Z_redt

Tres fases (y tres fases a tierra) - falla de la fase “a” , la fase “b”  y la fase “c” (a tierra):

Los valores de Z₁, Z₂ y Z₀ se determinan respectivamente para impedancia de red de secuencia positiva, negativa y cero, por reducción a una impedancia única.

- Nivel de cortocircuito trifásico

La corriente de cortocircuito trifásico simetrico I_sc de un sistema de potencia con tensiones en vacío de línea y de fase E_lin y E_fase e impedancia de fuente por fase estrella Z_F es:

I_sc = E_fase / |Z_F| = E_lin / Ö3|Z_F|

El nivel de cortocircuito trifásico S_sc de un sistema de potencia es:

S_sc = 3I_sc²|Z_F| = 3E_faseI_sc = 3E_fase² / |Z_F| = E_lin² / |Z_F|

Si la relación X / R de la impedancia de fuente Z_F (de resistencia R_F y reactancia X_F) es suficientemente grande, |Z_F| » X_F.

- Corrección del factor de potencia

Si una carga inductiva con un consumo de potencia activa P y un factor de potencia en atraso sin corregir cosf₁ se quiere llevar a un valor de factor de potencia en atraso corregido cosf₂ , las potencias reactivas sin corregir y corregida Q₁ y Q₂, son respectivamente:

Q₁ = P tanf₁ = P  (1 / cos²f₁ - 1)^½

Q₂ = P tanf₂ = P  (1 / cos²f₂ - 1)^½

La potencia reactiva en adelanto (capacitiva) Q_C que debe conectarse con la carga es:

Q_C = Q₁ - Q₂ = P (tanf₁ - tanf₂)

Las potencias aparentes sin corregir y corregida S₁ y S₂, se relacionan mediante:

S₁ cosf₁ = P = S₂ cosf₂

Comparando las corrientes de carga sin corregir y corregida I₁ e I₂, se tiene:

I₂ / I₁ = S₂ / S₁ = cosf₁ / cosf₂

Para capacitores conectados en estrella, cada uno con una capacidad C_estr e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea V_lin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) Q_Cestr y la corriente de línea reactiva I_lin valen:

Q_Cestr = V_lin² / X_Cestr = 2pf C_estrV_lin²
I_lin = Q_Cestr / Ö3V_lin = V_lin / Ö3X_Cestr
C_estr = Q_Cestr / 2pf V_lin²

Para capacitores conectados en triángulo, cada uno con una capacidad C_triang e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea V_lin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) Q_Ctriang y la corriente de línea reactiva I_lin valen:

Q_Ctriang = 3V_lin² / X_Ctriang = 6pf C_triangV_lin²
I_lin = Q_Ctriang / Ö3V_lin = Ö3V_lin / X_Ctriang
C_triang = Q_Ctriang / 6pf V_lin²

Nótese que para tener el mismo valor de Q_C:

X_Ctriang = 3X_Cestr
C_triang = C_estr / 3

- Resonancia armónica

Si un nodo de un sistema de potencia que trabaja a una frecuencia f tiene una reactancia inductiva de fuente por fase X_L y una corrección del factor de potencia de reactancia capacitiva por fase X_c, la inductancia de fuente L y la capacidad de corrección C valen:

L = X_L / w = X_L / 2pf
C = 1 / wX_C = 1 / 2pf X_C

La velocidad angular de resonancia serie w_r vale:

w_r = (1 / LC)^½ = w(X_C / X_L)^½ = 2pf (X_C / X_L)^½

El nivel de cortocircuito trifásico S_sc en el nodo para una tensión de fase en vacío E y una impedancia por fase estrellla Z vale:

S_sc = 3E² / |Z| = 3E² / |R + jX_L|

Si la relación X_L / R de la impedancia de fuente Z es suficientemente grande, |Z| » X_L:

S_sc » 3E² / X_L

La potencia reactiva Q_C de los capacitores de corrección del factor de potencia es:

Q_C = 3E² / X_C

El número de orden del armónico f_r / f que produce la resonancia  serie de X_L con X_C es:

f_r / f = w_r / w = (X_C / X_L)^½ » (S_sc / Q_C)^½

- Factor de disipación dieléctrica

Si una tensión alterna V de frecuencia f se aplica a través de un sistema de aislamiento que comprende una capacidad C y una resistencia de pérdidas equivalentes en serie R_S, entonces la corriente resultante I producirá una caída de tensión V_R en la resistencia y una caída V_C en la capacidad que resultan:

V_R = IR_S
V_C = IX_C
V = (V_R² + V_C²)^½

El factor de disipación dieléctrica de un sistema de aislamiento es la tangente del ángulo de pérdidas dieléctricas d entre V_C y V :

tand = V_R / V_C = R_S / X_C = 2pfCR_S
R_S = X_C tand = tand / 2pfC

La potencia de pérdidas dieléctricas P se relaciona con la potencia reactiva capacitiva Q_C mediante:

P = I²R_S = I²X_C tand = Q_C tand

El factor de potencia de un sistema de aislamiento es el coseno del ángulo de fase f entre V_R y V:

cosf = V_R / V

Además:

 d + f = 90°

tand = 1 / tanf = cosf / senf = cosf / (1 - cos²f)^½

Si cosf es cercano a cero, entonces tand » cosf

3 - Teoremas de circuitos eléctricos lineales

- Notación

- Ley de Ohm

Cuando la tensión aplicada E produce una corriente I al circular a través de una impedancia Z, el valor de dicha impedancia Z es igual a la tensión E dividida por la corriente I:

Similarmente:

Alternativamente usando la admitancia Y, que es el recíproco de la impedancia Z:

- Ley de Kirchoff de las corrientes (1ª ley)

La suma de todas las corrientes que ingresan a cualquier nodo de un circuito es igual a la suma de todas las corrientes que salen del mismo:

SI_ingr = SI_sal

Similarmente, la suma algebraica de todas las corrientes que concurren a cualquier nodo de un circuito es igual a cero:

SI = 0

- Ley de Kirchoff de las tensiones (2ª ley)

La suma de todas las fuentes de tensión en cualquier circuito cerrado es igual a la suma de todas las caidas de tensión que se producen en el mismo:

SE = SIZ

Similarmente, la suma algebraica de todas las tensiones presentes en cualquier circuito cerrado es igual a cero:

SE - SIZ = 0

- Teorema de Thévenin

Todo dipolo activo de un circuito puede ser reemplazado por un circuito serie formado por una única fuente de tensión E_TH y una única impedancia Z_TH. El valor de E_TH es igual a la tensión medida en bornes del dipolo a circuito abierto y el de la impedancia Z_TH es la medida entre esos mismos bornes con todas las fuentes internas pasivadas.

- Teorema de Norton

Todo dipolo activo de un circuito puede ser reemplazado por una única fuente de corriente I_N en paralelo con una única admitancia Y_N. El valor de I_N es igual a la corriente medida en bornes del dipolo a circuito cerrado (cortocircuito) y el de la admitancia Y_N es la medida entre esos mismos bornes con todas las fuentes internas pasivadas.

- Equivalencia entre los teoremas de Thévenin y Norton

Las condiciones del modelo de Thévenin a circuito abierto, cortocircuito y carga son:

V_oc = E_TH
I_sc = E_TH / Z_TH
V_carga = E_TH - I_cargaZ_TH
I_carga = E_TH / (Z_TH + Z_carga)

Las condiciones del modelo de Norton a circuito abierto, cortocircuito y carga son:

V_oc = I_N / Y_N
I_sc = I_N
V_carga = I_N / (Y_N + Y_carga)
I_carga = I_N - V_cargaY_N

Las condiciones de pasaje entre modelos son:

Thévenin a Norton

Norton a Thévenin

- Teorema de superposición

En un circuito con múltiples fuentes de tensión, la corriente que circula en cualquier rama del mismo es igual a la suma de las corrientes que circularían en tal rama por la acción de cada fuente de tensión por separado, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de reciprocidad

La corriente I_m que circula en la rama m de un circuito por acción de una fuente de tensión E_n ubicada en la rama n del mismo, es igual a la corriente I_n que circula en la rama n de ese circuito por acción de la misma fuente de tensión E_n ubicada en la rama m del circuito, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de compensación

Si la impedancia Z_m de la rama m de un circuito por la que circula una corriente I_m se incrementa en una cantidad finita DZ_m , entonces las modificaciones en las tensiones y corrientes que se producirán en todas las demás ramas del circuito pueden ser calculadas mediante la inserción de una fuente de tensión de valor -I_m DZ_m ubicada en dicha rama m, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de Millman (ó del paralelo de generadores)

Un circuito formado por el paralelo de las fuentes de tensión E₁, E₂, E₃, ... cuyas impedancias internas son respectivamente Z₁, Z₂, Z₃, ... puede ser reemplazado por una sola fuente de tensión E_eq con impedancia interna Z_eq. El valor de E_eq es igual a la relación entre la suma de los productos de las tensiones de las fuentes por sus admitancias internas, y la suma de todas las admitancias internas; mientras que el valor de Z_eq es igual a la inversa de la suma de todas las admitancias internas.

E_eq = (E₁Y₁ + E₂Y₂ + E₃Y₃ + ...) / (Y₁ + Y₂ + Y₃ + ...) = SEY /